אופן החישוב

צופים יקרים!
 
 
בשיעורים הקודמים למדנו מהי מחמושת, מהו מפתח מוזיקלי, מהו צליל מוזיקלי, מהו סולם מוזיקלי מהם המושגים סוגי הסולמות, סימני הסולמות, ותבניות הסולם, למדנו על סולמות במז'ור, סולמות במינור, למדנו מהו סולם כרומטי, סולם פנטטוני, סולם טונלי ומיקרו טונלי, סולמות מקבילים, תדר מוזיקלי, טון מוזיקלי, וכעת נעבור ונלמד על אופן החישוב של תדר מוזיקלי. .  
 
אופן החישוב של תדר מוזיקלי- שיטת חישוב חדשה אשר נקבעה באותה ועדה משנת 1939 ואשר משמשת את המוזיקה המערבית אירופאית כיום. 
  
היות ונקבע באותה ועדה בינלאומית משנת 1939 כי התדר לצליל לה באוקטבה הראשונה הנו של 440 הרץ. ניתן לקבוע מבחינה מתמטית כי הצליל לה באוקטבה השנייה הנו של  880 הרץ ואילו הצליל לה של האוקטבה הקטנה הנו של 220 הרץ וכן הלאה. והיות ובכל אוקטבה ישנם 12 צלילים שהמרווח בינהם הנו של חצי טון כל אחד, ניתן לבנות נוסחה פשוטה אשר אומרת כי התדר בין כל מרווח של טון יחושב לפי שורש 2 של 6 ואילו התדר שבין כל מרווח של חצי טון יחושב לפי שורש 2 של 12.
 
ובכן מדוע 12 צלילים? מי קבע כי המרווח בין מי לפה ובין סי לדו הנו של חצי טון? ובכלל כיצד ניתן לחשב את התדרים המדוייקים בין שני צלילים.?
האם ניתן להגדיר סולם מוזיקלי שמספר הצלילים שבו יהיה שונה מ-12 ועדיין תישמרנה בו ההרמוניות? נניח שאנו מחלקים את האוקטבה למספר כלשהו N חלקים, כך שהיחס בין התדרים של כל שני צלילים הוא קבוע  R  יחס התדרים של הצליל השני לראשון יהיה r1 , יחס התדרים בין הצליל השלישי לראשון יהיה r2 וכן הלאה.
בעזרת חישוב בסיסי מתברר כי בסולם המכיל 5 צלילים, יחס התדרים 4:3 המתאים לקוורטה ההרמוניות לקוינטה מתקבל בדיוק טוב (1.5157) וגם יחס מתקבל בדיוק (1.3195), אך יחסי התדרים הטובים ביותר עבור  הקוינטה, הקוורטה והטרצה – מתקבלים רק בסולם הכולל 12 צלילים. רואים, איפוא, שאם רוצים סולם מוזיקלי בו מתקבלות שלוש הרמוניות יסוד ברמת דיוק גבוהה ביותר, יש לחלק את האוקטבה ל-12 חלקים.
  
רבים אשר מביטים על הפסנתר שואלים "מדוע בפסנתר מופיעים שני קלידים שחורים ולאחריהם שלושה קלידים שחורים ? מדוע אין רצף של שלושה קלידים שחורים או שני קלידים שחורים או קליד לבן קליד שחור בכל מחזור?
ובכן, התשובה הינה פשוטה: אין מדובר כלל בפסנתר שהרי ישנם כלים אחרים .. אלא מדובר בשיטה נוחה שבה הוגדרו 7 צלילי היסוד תחת הקלידים הלבנים ו-5 סימני ההיתק תחת הקלידים השחורים .. והיות וקיימים 7 קלידים לבנים לעומת 5 קלידים שחורים נוצר מצב שליד שני קלידים לא ניתן להניח קליד שחור נוסף ולכן הוחלט מהבחינה האסטטית בפסנתר ואף בצ'מבלו את הסדר 2 קלידים שחורים ולאחריהם 3 קלידים שחורים דבר אשר חוזר בכל 9 האוקטבות בפסנתר. שימו לב שהפסנתר מסודר כך לפי תבנית הסולם. למשל סולם דו מז'ור מכיל את התבנית 
 1/2  1  1  1  1/2  1  1 
 
ברור איפה כי פעולה זו גרמה בעקיפין למרווח של חצי טון אשר נוצר בין הצלילים מי-פה ובין סי-דו. הבעיות הללו הניעו את המוזיקולוגים לנסות ולשכלל את אופן החישוב של צלילי הסולם, ולהעמיד אותו על בסיס אחיד יותר. לצורך זה השתמש יוהאן סבסטיאן באך בשיטת ה"איזון המושווה" וחיבר יצירה לפסנתר שנועדה להדגים זאת, אותה כינה "הפסנתר המושווה היטב". הרעיון היה מבוסס על ההנחה שהיחס בין התדרים של כל שני צלילים סמוכים בסולם חייב להיות קבוע. אך מתברר בדיעבד כי גם שיטת חישוב זה אינה מדוייקת שהרי החלוקה של 12/2 6/2  3/2  1.5/2 אינה מדוייקת דייה כדי לענות על מרווחים שבין שני צלילים סמוכים של חצי טון וכדומה..
ולכן השיטה המתמטית החדשה של חלוקת האוקטבה בשורש  2 של 12 הינה המדוייקת ביותר ואכן על פי שיטה זו מכויילים כיום בכל העולם התדרים בכלי הנגינה השונים על פי מכשיר מדידה מדוייק.
 
להלן טבלת התדרים המופקים כתוצאה בחלוקה בשורש 2 של  12 של האוקטבה הנגדית הראשונה הקטנה והגדולה. הנתונים בטבלה זו חושבו על פי ההנחיה משנת 1939 כי הצליל לה באוקטבה הראשונה בעל תדר של 440 הרץ. טבלאות אלו כוללות את אופני החישוב החל מזמנו של פיתגורס, ועד ימינו אלו .

להלן טבלה המתארת את תנודות הצליל שבין שתי האוקטבות: הקטנה לראשונה בלבד בכל אחת מארבע התקופות (השיטות) השונות:  פיתגורס, ראמו, באך, השיטה של ימינו. הנתונים מדודים ב-הרץ.   
  
 

 

 
ניתן לראות כי נוצרו 4 חישובים שונים ומשונים כך שכל תקופה והמוזיקה שלה. פיתגורס חשב על הצד היחסי במוזיקה של הערכים היחסיים: 1:2  אוקטבה, 3:4 קוורטה,  3:2  קווינטה, אך אנו רואים שגם יחסים אלו לא פתרו את הבעיה ובמיוחד את בעיית הטרצה והסקונדה..
 
שיטת הכיוון המושווה אשר הוצעה על-ידי ז'אן-פיליפ ראמו (Rameau 1683-1764), מוזיקאי ומוזיקולוג צרפתי. ראמו נתן בזמנו את ההסבר החדשני ביותר לקשרים שבין מוזיקה, מתמטיקה ופיזיקה. אף היא נכשלה.  והיא אף רחוקה מלהוות כלי מדידה איכותי ותקין..שהרי הפערים יוצרים במקרים מסויימים מוזיקה הקרובה למיקרו טונליות 
 
באך חשב על חלוקת האוקטבה ל-12 חלקים שוים אך גם הוא טעה בכך שנוצרו מרווחי תדר שונים בין שני צלילים בעלי אותו מעמד. ראו דוגמא: בין צליל #A לצליל לה התדר הוא 17.50 הרץ ולעומת זאת התדר בין #A לצליל סי הוא של 19 הרץ פער של 1.5 הרץ בין שני צלילים דומים. ניתן לראות בעיות דומות גם ביתר הצלילים.  אך יש לציין כי שיטה זו היתה הכי קרובה לזו המיושמת היום .
 
בשיטה החדשה  - תדירותם של כל 12 הצלילים מוכפלת במעבר לאוקטבה הבאה. דבר אשר יוצר אחידות מוזיקלית טהורה בכל סוגי המרווחים. באוקטבה הגדולה, חצי טון ימדד לפי מרווח תדר של  9.166 הרץ האחד מהשני. באוקטבה הקטנה, חצי טון ימדד לפי מרווח תדר  של  18.333 הרץ האחד מהשני. באוקטבה הראשונה,  חצי טון ימדד לפי מרווח תדר של  36.666 הרץ האחד מהשני. וכך הלאה . ובכך מביאים לאחידות לא רק במרווח התדר שבין שני  צלילים אלא במרווחי התדר שבין כל 9 האוקטבות השונות.
 
יש לציין כי המלודיה אשר תנוגן לאותם תווים בכיוון פסנתר שונה של כל אחת מארבע השיטות, תשמע שונה לחלוטין ל- "אוזן השומעת".  
 
המשך צפייה מהנה.. 
 
 <<< חזרה לדף קודם                                                                                                    המשך בעמוד הבא >>>